概率论¶
离散和连续分布¶
一些基本定义¶
| 随机变量X | 离散 | 连续 |
|---|---|---|
累积分布函数cdf |
\(F(a) = P(X \leq a)\) | \(F(a)=\int_{-\infin}^{a}f(x)dx\) |
分布列/概率密度函数pdf |
\(p(x) = P(X=x)\) | \(f(x)=\frac{d}{dx}F(x)\) |
X的期望期望E(x) |
\(E(x)=\sum xp(x)\) | \(E(x)=\int_{-\infin}^{\infin} xf(x) dx\) |
方差Var(x) |
\(Var(x)=E[(X-E^2[X])^2]=E^2[X]-E[X^2]\) | \(Var(x)=E[(X-E^2[X])^2]=E^2[X]-E[X^2]\) |
g(X)的期望E(g(X)) |
\(E(x)=\sum g(x)p(x)\) | \(E(x)=\int_{-\infin}^{\infin} g(x)f(x) dx\) |
离散随机分布¶
| 名称 | 分布列 | 期望E(X) |
方差Var(X) |
|---|---|---|---|
| 均匀分布（Union） | \(P(x)=\frac{1}{b-a+1}, x=a,a+1,...,b\) | \(\frac{a+b}{2}\) | \(\frac{(b-a+1)^2-1}{12}\) |
| 伯努利分布（Bernoulli） | \(P(x)=p^x (1-p)^{1-x}, x=0,1\) | \(p\) | \(p(1-p)\) |
| 二项分布（Binomial） | \(P(x)=C_n^x p^x (1-p)^{n-x}, x=0,1,...,n\) | \(np\) | \(np(1-p)\) |
| 泊松分布（Poisson） | \(P(x)=\frac{e^{-\lambda t (\lambda t)^x}}{x!}, x=0,1,...\) | \(\lambda t\) | \(\lambda t\) |
| 几何分布（Geometric） | \(P(x)=(1-p)^{x-1}p, x=1,2,...\) | \(\frac{1}{p}\) | \(\frac{1-p}{p^2}\) |
| 负二项分布（Negative Binomial） | \(P(x)=C_{x-1}^{r-1} p^r (1-p)^{x-r}, x=r,r+1,...\) | \(\frac{r}{p}\) | \(\frac{r(1-p)}{p^2}\) |
部分推导：
- 伯努利分布：伯努利分布在随机变量取值为1时概率为p，取值为0时概率为1-p。一个典型的例子是掷一次硬币，正面向上记为1，概率为p。
- 二项分布：将一枚硬币连续抛掷n次，每次抛掷正面向上概率为p，反面向上概率为1-p，每次抛掷结果相互独立，那么正面向上的次数X满足二项分布。二项分布均值和方差推导：
- 均值：
- 方差：
- 几何分布：连续抛掷一枚硬币，每次抛掷正面向上概率为p，反面向上概率为1-p，每次抛掷结果相互独立，直到第一次出现正面向上的次数X满足几何分布。几何分布的均值和方差推导如下:
- 均值：
- 方差：
- 泊松分布：
连续随机分布¶
